2x^2+x-528=0 పరిష్కరించండి

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16.5$$

$$x=16$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-528 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -1056ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-32 b=33$$

\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)ని 2x^{2}+x-528 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 33 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-16ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-16=0 మరియు 2x+33=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}+x-528=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో 1 మరియు c స్థానంలో -528 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

1 వర్గము.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -528ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

4224కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

4225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±65}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 65కు -1ని కూడండి.

$$x=\frac{64}{4}$$

4తో 64ని భాగించండి.

$$x=16$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±65}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 65ని -1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{66}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-66}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{33}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}+x-528=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 528ని కూడండి.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

-528ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

-528ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x^{2}+x=528$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

2తో 528ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{1}{2}ని 2తో భాగించి \frac{1}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

\frac{1}{16}కు 264ని కూడండి.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$