2x^2+5x-168=0 పరిష్కరించండి

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

$$x=8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-168 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -336ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

సమ్ 5ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-16 b=21$$

\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)ని 2x^{2}+5x-168 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 21 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-8ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-8=0 మరియు 2x+21=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో 5 మరియు c స్థానంలో -168 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

5 వర్గము.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -168ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

1344కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

1369 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-5±37}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 37కు -5ని కూడండి.

$$x=\frac{32}{4}$$

4తో 32ని భాగించండి.

$$x=8$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-5±37}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 37ని -5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{42}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-42}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{21}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 168ని కూడండి.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

-168ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

-168ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x^{2}+5x=168$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

2తో 168ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{5}{2}ని 2తో భాగించి \frac{5}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{5}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{5}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

\frac{25}{16}కు 84ని కూడండి.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

కారకం x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$