18x^2-27x+4=0 పరిష్కరించండి

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 18x^{2}+ax+bx+4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 72ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

సమ్ -27ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-24 b=-3$$

\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)ని 18x^{2}-27x+4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

మొదటి సమూహంలో 6x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-4=0 మరియు 6x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 18, b స్థానంలో -27 మరియు c స్థానంలో 4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

-27 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

-4 సార్లు 18ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

-72 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

-288కు 729ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

-27 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

2 సార్లు 18ని గుణించండి.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{27±21}{36} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21కు 27ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{36}$$

12ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{48}{36} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{4}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{27±21}{36} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21ని 27 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{6}{36}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{6}{36} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{6}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

4ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$18x^{2}-27x=-4$$

రెండు వైపులా 18తో భాగించండి.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

18తో భాగించడం ద్వారా 18 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

9ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-27}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{16}కు -\frac{2}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

కారకం x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$