16x^2-8x-3=0 పరిష్కరించండి

$$16 x ^ { 2 } - 8 x - 3 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 16x^{2}+ax+bx-3 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -48ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

సమ్ -8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-12 b=4$$

\left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)ని 16x^{2}-8x-3 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)$$

16x^{2}-12xలో 4xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$4x\left(4x-3\right)+4x-3$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 4x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 4x-3=0 మరియు 4x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$16x^{2}-8x-3=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 16, b స్థానంలో -8 మరియు c స్థానంలో -3 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-8 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-4 సార్లు 16ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-64 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

192కు 64ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

256 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 16}$$

-8 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 16}$$

2 సార్లు 16ని గుణించండి.

$$x=\frac{8±16}{32}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{8±16}{32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16కు 8ని కూడండి.

$$x=\frac{24}{32}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{24}{32} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{4}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{8±16}{32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16ని 8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{8}{32}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-8}{32} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$16x^{2}-8x-3=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$16x^{2}-8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$16x^{2}-8x=-\left(-3\right)$$

-3ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$16x^{2}-8x=3$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$\frac{16x^{2}-8x}{16}=\frac{3}{16}$$

16తో భాగించడం ద్వారా 16 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{16}\right)x=\frac{3}{16}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-8}{16} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{1}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{1}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{16}కు \frac{3}{16}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

కారకం x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{4}$$