15x^2+11x+2=0 పరిష్కరించండి

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 15x^{2}+ax+bx+2 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 30ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=5 b=6$$

\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)ని 15x^{2}+11x+2 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

మొదటి సమూహంలో 5x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x+1=0 మరియు 5x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 15, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో 2 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 వర్గము.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

-120కు 121ని కూడండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-11±1}{30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1కు -11ని కూడండి.

$$x=-\frac{10}{30}$$

10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-10}{30} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-11±1}{30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{30} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{5}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$15x^{2}+11x=-2$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15తో భాగించడం ద్వారా 15 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{11}{15}ని 2తో భాగించి \frac{11}{30}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{11}{30} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{11}{30}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{900}కు -\frac{2}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

కారకం x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{11}{30}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$