15x^2+4x-4=0 పరిష్కరించండి

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 15x^{2}+ax+bx-4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -60ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

సమ్ 4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-6 b=10$$

\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)ని 15x^{2}+4x-4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 5x-2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 5x-2=0 మరియు 3x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 15, b స్థానంలో 4 మరియు c స్థానంలో -4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 వర్గము.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

240కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±16}{30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16కు -4ని కూడండి.

$$x=\frac{12}{30}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{12}{30} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{2}{5}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±16}{30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{20}{30}$$

10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-20}{30} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

-4ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x^{2}+4x=4$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15తో భాగించడం ద్వారా 15 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{4}{15}ని 2తో భాగించి \frac{2}{15}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{2}{15} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{2}{15}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4}{225}కు \frac{4}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

కారకం x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2}{15}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$