14x^2-29x-15=0 పరిష్కరించండి

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 14x^{2}+ax+bx-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -210ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

సమ్ -29ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-35 b=6$$

\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)ని 14x^{2}-29x-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 7x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-5=0 మరియు 7x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 14, b స్థానంలో -29 మరియు c స్థానంలో -15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-29 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-4 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-56 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

840కు 841ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

1681 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

-29 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

2 సార్లు 14ని గుణించండి.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{29±41}{28} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41కు 29ని కూడండి.

$$x=\frac{70}{28}$$

14ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{70}{28} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{29±41}{28} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 41ని 29 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{28}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{28} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{7}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

-15ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$14x^{2}-29x=15$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

14తో భాగించడం ద్వారా 14 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{29}{14}ని 2తో భాగించి -\frac{29}{28}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{29}{28} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{29}{28}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{841}{784}కు \frac{15}{14}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

కారకం x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{28}ని కూడండి.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$