120x^2+8000x-92000=0 పరిష్కరించండి

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 40తో భాగించండి.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-2300 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -6900ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

సమ్ 200ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-30 b=230$$

\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)ని 3x^{2}+200x-2300 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 230 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-10ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-10=0 మరియు 3x+230=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 120, b స్థానంలో 8000 మరియు c స్థానంలో -92000 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000 వర్గము.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 సార్లు 120ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 సార్లు -92000ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

44160000కు 64000000ని కూడండి.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 సార్లు 120ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8000±10400}{240} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10400కు -8000ని కూడండి.

$$x=\frac{2400}{240}$$

240తో 2400ని భాగించండి.

$$x=10$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8000±10400}{240} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10400ని -8000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-18400}{240} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{230}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 92000ని కూడండి.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

-92000ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

-92000ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120తో భాగించడం ద్వారా 120 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{8000}{120} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{92000}{120} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{200}{3}ని 2తో భాగించి \frac{100}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{100}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{100}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{10000}{9}కు \frac{2300}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

కారకం x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{100}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$