12r^2-11r-15=0 పరిష్కరించండి

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

rని పరిష్కరించండి

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 12r^{2}+ar+br-15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -180ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

సమ్ -11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-20 b=9$$

\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)ని 12r^{2}-11r-15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

మొదటి సమూహంలో 4r మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3r-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3r-5=0 మరియు 4r+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 12, b స్థానంలో -11 మరియు c స్థానంలో -15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11 వర్గము.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720కు 121ని కూడండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి r=\frac{11±29}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 29కు 11ని కూడండి.

$$r=\frac{40}{24}$$

8ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{40}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$r=\frac{5}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి r=\frac{11±29}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 29ని 11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-18}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$r=-\frac{3}{4}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

-15ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12r^{2}-11r=15$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12తో భాగించడం ద్వారా 12 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{15}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{11}{12}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{24}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{24} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{24}ని వర్గము చేయండి.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{576}కు \frac{5}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

కారకం r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{24}ని కూడండి.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$