12(n-4)-30=n^2-9n+12 పరిష్కరించండి

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=6$$

$$n=15$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

n-4తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78ని పొందడం కోసం 30ని -48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

రెండు భాగాల నుండి n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

రెండు వైపులా 9nని జోడించండి.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21nని పొందడం కోసం 12n మరియు 9nని జత చేయండి.

$$21n-78-n^{2}=12$$

రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-90ని పొందడం కోసం 12ని -78 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$21n-90-n^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -n^{2}+an+bn-90 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 90ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

సమ్ 21ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=15 b=6$$

\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)ని -n^{2}+21n-90 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

మొదటి సమూహంలో -n మరియు రెండవ సమూహంలో 6 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-15ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-15=0 మరియు -n+6=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=15 n=6$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

n-4తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78ని పొందడం కోసం 30ని -48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

రెండు భాగాల నుండి n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

రెండు వైపులా 9nని జోడించండి.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21nని పొందడం కోసం 12n మరియు 9nని జత చేయండి.

$$21n-78-n^{2}=12$$

రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

-90ని పొందడం కోసం 12ని -78 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$21n-90-n^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 21 మరియు c స్థానంలో -90 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

21 వర్గము.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు -90ని గుణించండి.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

-360కు 441ని కూడండి.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

81 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{-21±9}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 9కు -21ని కూడండి.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-2తో -12ని భాగించండి.

$$n=6$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{-21±9}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 9ని -21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-2తో -30ని భాగించండి.

$$n=15$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=6 n=15$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

n-4తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

-78ని పొందడం కోసం 30ని -48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

రెండు భాగాల నుండి n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

రెండు వైపులా 9nని జోడించండి.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

21nని పొందడం కోసం 12n మరియు 9nని జత చేయండి.

$$21n-78-n^{2}=12$$

రెండు వైపులా 78ని జోడించండి.

$$21n-n^{2}=12+78$$

90ని పొందడం కోసం 12 మరియు 78ని కూడండి.

$$21n-n^{2}=90$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-n^{2}+21n=90$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

-1తో 21ని భాగించండి.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

-1తో 90ని భాగించండి.

$$n^{2}-21n=-90$$

x రాశి యొక్క గుణకము -21ని 2తో భాగించి -\frac{21}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{21}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{21}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

\frac{441}{4}కు -90ని కూడండి.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

కారకం n^{2}-21n+\frac{441}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{21}{2}ని కూడండి.

$$n=15 n=6$$