12x^2+32x+5=0 పరిష్కరించండి

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 12x^{2}+ax+bx+5 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 60ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

సమ్ 32ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=2 b=30$$

\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)ని 12x^{2}+32x+5 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 6x+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 6x+1=0 మరియు 2x+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 12, b స్థానంలో 32 మరియు c స్థానంలో 5 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

32 వర్గము.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

-240కు 1024ని కూడండి.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

784 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

2 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-32±28}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 28కు -32ని కూడండి.

$$x=-\frac{4}{24}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{6}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-32±28}{24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 28ని -32 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{60}{24}$$

12ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-60}{24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

5ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$12x^{2}+32x=-5$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12తో భాగించడం ద్వారా 12 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{32}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{8}{3}ని 2తో భాగించి \frac{4}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{4}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{4}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{16}{9}కు -\frac{5}{12}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$