11y=3y^2-4 పరిష్కరించండి

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 3y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11y-3y^{2}=-4$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -3y^{2}+ay+by+4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -12ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=12 b=-1$$

\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)ని -3y^{2}+11y+4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

-3y^{2}+12yలో 3yని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -y+4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -y+4=0 మరియు 3y+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండు భాగాల నుండి 3y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11y-3y^{2}=-4$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -3, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో 4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

11 వర్గము.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-4 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

12 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

48కు 121ని కూడండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

2 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{-11±13}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు -11ని కూడండి.

$$y=\frac{2}{-6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{-6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{-11±13}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-6తో -24ని భాగించండి.

$$y=4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

రెండు భాగాల నుండి 3y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11y-3y^{2}=-4$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3తో భాగించడం ద్వారా -3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

-3తో 11ని భాగించండి.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-3తో -4ని భాగించండి.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{11}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{36}కు \frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

కారకం y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{6}ని కూడండి.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$