1000x^2-590x-561=0 పరిష్కరించండి

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 1000x^{2}+ax+bx-561 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -561000ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

సమ్ -590ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-1100 b=510$$

\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)ని 1000x^{2}-590x-561 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

మొదటి సమూహంలో 100x మరియు రెండవ సమూహంలో 51 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 10x-11ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 10x-11=0 మరియు 100x+51=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1000, b స్థానంలో -590 మరియు c స్థానంలో -561 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-590 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4 సార్లు 1000ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4000 సార్లు -561ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

2244000కు 348100ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

2592100 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

2 సార్లు 1000ని గుణించండి.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{590±1610}{2000} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1610కు 590ని కూడండి.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

200ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2200}{2000} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{11}{10}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{590±1610}{2000} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1610ని 590 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

20ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-1020}{2000} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{51}{100}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 561ని కూడండి.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

-561ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

-561ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$1000x^{2}-590x=561$$

రెండు వైపులా 1000తో భాగించండి.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

1000తో భాగించడం ద్వారా 1000 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-590}{1000} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{59}{100}ని 2తో భాగించి -\frac{59}{200}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{59}{200} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{59}{200}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3481}{40000}కు \frac{561}{1000}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{59}{200}ని కూడండి.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$