10x^2+7x-12=0 పరిష్కరించండి

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 10x^{2}+ax+bx-12 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -120ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

సమ్ 7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-8 b=15$$

\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)ని 10x^{2}+7x-12 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

మొదటి సమూహంలో 2x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 5x-4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 5x-4=0 మరియు 2x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 10, b స్థానంలో 7 మరియు c స్థానంలో -12 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

7 వర్గము.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-4 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-40 సార్లు -12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

480కు 49ని కూడండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

529 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

2 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-7±23}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23కు -7ని కూడండి.

$$x=\frac{16}{20}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{16}{20} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{4}{5}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-7±23}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23ని -7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{30}{20}$$

10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-30}{20} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

-12ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+7x=12$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

10తో భాగించడం ద్వారా 10 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{12}{10} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{7}{10}ని 2తో భాగించి \frac{7}{20}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{7}{20} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{7}{20}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{400}కు \frac{6}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

కారకం x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{7}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$