10x^2+67x-21=0 పరిష్కరించండి

$$10 x ^ { 2 } + 67 x - 21 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-7$$

$$x=\frac{3}{10}=0.3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 10x^{2}+ax+bx-21 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=67 ab=10\left(-21\right)=-210$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -210ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

సమ్ 67ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-3 b=70$$

\left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)ని 10x^{2}+67x-21 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 7 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(10x-3\right)+7\left(10x-3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 10x-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(10x-3\right)\left(x+7\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 10x-3=0 మరియు x+7=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 10, b స్థానంలో 67 మరియు c స్థానంలో -21 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

67 వర్గము.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

-4 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-40\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

-40 సార్లు -21ని గుణించండి.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+840}}{2\times 10}$$

840కు 4489ని కూడండి.

$$x=\frac{-67±\sqrt{5329}}{2\times 10}$$

5329 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-67±73}{2\times 10}$$

2 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=\frac{-67±73}{20}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-67±73}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 73కు -67ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{20}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{6}{20} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{10}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-67±73}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 73ని -67 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{140}{20}$$

20తో -140ని భాగించండి.

$$x=-7$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 21ని కూడండి.

$$10x^{2}+67x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$10x^{2}+67x=-\left(-21\right)$$

-21ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x^{2}+67x=21$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$\frac{10x^{2}+67x}{10}=\frac{21}{10}$$

10తో భాగించడం ద్వారా 10 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x=\frac{21}{10}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{67}{10}ని 2తో భాగించి \frac{67}{20}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{67}{20} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{21}{10}+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{67}{20}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{21}{10}+\frac{4489}{400}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4489}{400}కు \frac{21}{10}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{5329}{400}$$

కారకం x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{5329}{400}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{400}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{67}{20}=\frac{73}{20} x+\frac{67}{20}=-\frac{73}{20}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{67}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$