10k^2+9k-1=0 పరిష్కరించండి

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

kని పరిష్కరించండి

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 10k^{2}+ak+bk-1 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -10ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,10 -2,5$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

సమ్ 9ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-1 b=10$$

\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)ని 10k^{2}+9k-1 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

10k^{2}-kలో kని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 10k-1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 10k-1=0 మరియు k+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 10, b స్థానంలో 9 మరియు c స్థానంలో -1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 వర్గము.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

40కు 81ని కూడండి.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి k=\frac{-9±11}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 11కు -9ని కూడండి.

$$k=\frac{2}{20}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{20} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$k=\frac{1}{10}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి k=\frac{-9±11}{20} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 11ని -9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-\frac{20}{20}$$

20తో -20ని భాగించండి.

$$k=-1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

-1ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10k^{2}+9k=1$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10తో భాగించడం ద్వారా 10 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{9}{10}ని 2తో భాగించి \frac{9}{20}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{9}{20} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{9}{20}ని వర్గము చేయండి.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{400}కు \frac{1}{10}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

కారకం k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{20}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$