-4x^2+20x-47=0 పరిష్కరించండి

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -4, b స్థానంలో 20 మరియు c స్థానంలో -47 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

20 వర్గము.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 సార్లు -47ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

-752కు 400ని కూడండి.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

-352 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

2 సార్లు -4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4i\sqrt{22}కు -20ని కూడండి.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

-8తో -20+4i\sqrt{22}ని భాగించండి.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4i\sqrt{22}ని -20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

-8తో -20-4i\sqrt{22}ని భాగించండి.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 47ని కూడండి.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

-47ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x^{2}+20x=47$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

-4తో భాగించడం ద్వారా -4 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

-4తో 20ని భాగించండి.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

-4తో 47ని భాగించండి.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -5ని 2తో భాగించి -\frac{5}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{5}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{5}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{25}{4}కు -\frac{47}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

కారకం x^{2}-5x+\frac{25}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$