-x^2+2x+15=0 పరిష్కరించండి

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-3$$

$$x=5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+15 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -15ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,15 -3,5$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

సమ్ 2ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=5 b=-3$$

\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)ని -x^{2}+2x+15 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-5=0 మరియు -x-3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=5 x=-3$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 2 మరియు c స్థానంలో 15 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

2 వర్గము.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

60కు 4ని కూడండి.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

64 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±8}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8కు -2ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{-2}$$

-2తో 6ని భాగించండి.

$$x=-3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-2±8}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 8ని -2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-2తో -10ని భాగించండి.

$$x=5$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-3 x=5$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

15ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-x^{2}+2x=-15$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

-1తో 2ని భాగించండి.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

-1తో -15ని భాగించండి.

$$x^{2}-2x=15$$

x రాశి యొక్క గుణకము -2ని 2తో భాగించి -1ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -1 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

1కు 15ని కూడండి.

$$x^{2}-2x+1=16$$

కారకం x^{2}-2x+1. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-1=4 x-1=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$x=5 x=-3$$