-3x^2+51x-156=0 పరిష్కరించండి

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$x=13$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx-52 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 52ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,52 2,26 4,13$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

సమ్ 17ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=13 b=4$$

\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)ని -x^{2}+17x-52 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-13ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-13=0 మరియు -x+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=13 x=4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -3, b స్థానంలో 51 మరియు c స్థానంలో -156 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

51 వర్గము.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 సార్లు -156ని గుణించండి.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

-1872కు 2601ని కూడండి.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

729 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

2 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-51±27}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 27కు -51ని కూడండి.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

-6తో -24ని భాగించండి.

$$x=4$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-51±27}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 27ని -51 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

-6తో -78ని భాగించండి.

$$x=13$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=4 x=13$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 156ని కూడండి.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

-156ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

-156ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}+51x=156$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

-3తో భాగించడం ద్వారా -3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

-3తో 51ని భాగించండి.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

-3తో 156ని భాగించండి.

$$x^{2}-17x=-52$$

x రాశి యొక్క గుణకము -17ని 2తో భాగించి -\frac{17}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{17}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{17}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

\frac{289}{4}కు -52ని కూడండి.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

కారకం x^{2}-17x+\frac{289}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{17}{2}ని కూడండి.

$$x=13 x=4$$