-3x+2y=-6text{and}2x+4y=20 పరిష్కరించండి

$$- 3 x + 2 y = - 6 \text { and } 2 x + 4 y = 20$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-3x+2y=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-2y-6$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y-6\right)$$

-\frac{1}{3} సార్లు -2y-6ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y}{3}+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+4y=20.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+4y=20$$

2 సార్లు \frac{2y}{3}+2ని గుణించండి.

$$\frac{4}{3}y+4+4y=20$$

4yకు \frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{16}{3}y+4=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{16}{3}y=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{16}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=3$$

x=\frac{2}{3}y+2లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\times 3+2$$

\frac{2}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=2+2$$

2కు 2ని కూడండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{3}{-3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{8}\times 20\\\frac{1}{8}\left(-6\right)+\frac{3}{16}\times 20\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

-3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\left(-6\right),-3\times 2x-3\times 4y=-3\times 20$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-6x+4y=-12,-6x-12y=-60$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x-12y=-60ని -6x+4y=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+6x+4y+12y=-12+60$$

6xకు -6xని కూడండి. -6x మరియు 6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y+12y=-12+60$$

12yకు 4yని కూడండి.

$$16y=-12+60$$

60కు -12ని కూడండి.

$$16y=48$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$y=3$$

2x+4y=20లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+4\times 3=20$$

4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$2x+12=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=3$$