-2x^2+47x+5=275 పరిష్కరించండి

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 275ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

-270ని పొందడం కోసం 275ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -2x^{2}+ax+bx-270 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 540ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

సమ్ 47ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=27 b=20$$

\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)ని -2x^{2}+47x-270 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో 10 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-27ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-27=0 మరియు -x+10=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 275ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

275ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

275ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -2, b స్థానంలో 47 మరియు c స్థానంలో -270 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

47 వర్గము.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 సార్లు -270ని గుణించండి.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

-2160కు 2209ని కూడండి.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

49 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

2 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-47±7}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7కు -47ని కూడండి.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

-4తో -40ని భాగించండి.

$$x=10$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-47±7}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7ని -47 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-54}{-4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{27}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

5ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

5ని 275 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x^{2}+47x=270$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

-2తో భాగించడం ద్వారా -2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

-2తో 47ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

-2తో 270ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{47}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{47}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{47}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{47}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

\frac{2209}{16}కు -135ని కూడండి.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

కారకం x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{47}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$