-16t^2+64t+80=128 పరిష్కరించండి

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

tని పరిష్కరించండి

$$t=1$$

$$t=3$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 128ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

-48ని పొందడం కోసం 128ని 80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -t^{2}+at+bt-3 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=3 b=1$$

\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)ని -t^{2}+4t-3 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

-t^{2}+3tలో -tని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ t-3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-3=0 మరియు -t+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=3 t=1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 128ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

128ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

128ని 80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -16, b స్థానంలో 64 మరియు c స్థానంలో -48 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 వర్గము.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 సార్లు -48ని గుణించండి.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

-3072కు 4096ని కూడండి.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

1024 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

2 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{-64±32}{-32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32కు -64ని కూడండి.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

-32తో -32ని భాగించండి.

$$t=1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{-64±32}{-32} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32ని -64 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

-32తో -96ని భాగించండి.

$$t=3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=1 t=3$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 80ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

80ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

80ని 128 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-16t^{2}+64t=48$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

-16తో భాగించడం ద్వారా -16 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

-16తో 64ని భాగించండి.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

-16తో 48ని భాగించండి.

$$t^{2}-4t=-3$$

x రాశి యొక్క గుణకము -4ని 2తో భాగించి -2ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -2 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2 వర్గము.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

4కు -3ని కూడండి.

$$t^{2}-4t+4=1$$

కారకం t^{2}-4t+4. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t-2=1 t-2=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$t=3 t=1$$