-14x^2+x+4=0 పరిష్కరించండి

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -14x^{2}+ax+bx+4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -56ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=8 b=-7$$

\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)ని -14x^{2}+x+4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

-14x^{2}+8xలో 2xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -7x+4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -7x+4=0 మరియు 2x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -14, b స్థానంలో 1 మరియు c స్థానంలో 4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

1 వర్గము.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

-4 సార్లు -14ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

56 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

224కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

2 సార్లు -14ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±15}{-28} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15కు -1ని కూడండి.

$$x=\frac{14}{-28}$$

14ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{14}{-28} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±15}{-28} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15ని -1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-16}{-28} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{4}{7}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

4ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-14x^{2}+x=-4$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

-14తో భాగించడం ద్వారా -14 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

-14తో 1ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-4}{-14} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{1}{14}ని 2తో భాగించి -\frac{1}{28}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{28} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{28}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{784}కు \frac{2}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

కారకం x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{28}ని కూడండి.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$