-x^2+10x-21=0 పరిష్కరించండి

$$- { x }^{ 2 } +10x-21 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$x=7$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx-21 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=10 ab=-\left(-21\right)=21$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 21ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,21 3,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+21=22 3+7=10$$

సమ్ 10ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=7 b=3$$

\left(-x^{2}+7x\right)+\left(3x-21\right)ని -x^{2}+10x-21 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(3x-21\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-7\right)\left(-x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు -x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=3$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+10x-21=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 10 మరియు c స్థానంలో -21 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

10 వర్గము.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-21\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు -21ని గుణించండి.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2\left(-1\right)}$$

-84కు 100ని కూడండి.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

16 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-10±4}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-10±4}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-10±4}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4కు -10ని కూడండి.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-2తో -6ని భాగించండి.

$$x=3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-10±4}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4ని -10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

-2తో -14ని భాగించండి.

$$x=7$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=3 x=7$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+10x-21=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 21ని కూడండి.

$$-x^{2}+10x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$-x^{2}+10x=-\left(-21\right)$$

-21ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x^{2}+10x=21$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{21}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{21}{-1}$$

-1తో 10ని భాగించండి.

$$x^{2}-10x=\frac{21}{-1}$$

-1తో 21ని భాగించండి.

$$x^{2}-10x=-21$$

x రాశి యొక్క గుణకము -10ని 2తో భాగించి -5ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -5 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

-5 వర్గము.

$$x^{2}-10x+25=-21+25$$

25కు -21ని కూడండి.

$$x^{2}-10x+25=4$$

కారకం x^{2}-10x+25. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-5\right)^{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-5=2 x-5=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$x=7 x=3$$