(y+4)^2=2y^2-3y+44 పరిష్కరించండి

$$( y + 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 3 y + 44$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=4$$

$$y=7$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(y+4\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$y^{2}+8y+16=2y^{2}-3y+44$$

రెండు భాగాల నుండి 2y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y^{2}+8y+16-2y^{2}=-3y+44$$

-y^{2}ని పొందడం కోసం y^{2} మరియు -2y^{2}ని జత చేయండి.

$$-y^{2}+8y+16=-3y+44$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-y^{2}+8y+16+3y=44$$

11yని పొందడం కోసం 8y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-y^{2}+11y+16=44$$

రెండు భాగాల నుండి 44ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y+16-44=0$$

-28ని పొందడం కోసం 44ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y-28=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -y^{2}+ay+by-28 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=-\left(-28\right)=28$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 28ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,28 2,14 4,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=7 b=4$$

\left(-y^{2}+7y\right)+\left(4y-28\right)ని -y^{2}+11y-28 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(4y-28\right)$$

మొదటి సమూహంలో -y మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-y\left(y-7\right)+4\left(y-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-7\right)\left(-y+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-7=0 మరియు -y+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=7 y=4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(y+4\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$y^{2}+8y+16=2y^{2}-3y+44$$

రెండు భాగాల నుండి 2y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y^{2}+8y+16-2y^{2}=-3y+44$$

-y^{2}ని పొందడం కోసం y^{2} మరియు -2y^{2}ని జత చేయండి.

$$-y^{2}+8y+16=-3y+44$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-y^{2}+8y+16+3y=44$$

11yని పొందడం కోసం 8y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-y^{2}+11y+16=44$$

రెండు భాగాల నుండి 44ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y+16-44=0$$

-28ని పొందడం కోసం 44ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y-28=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో -28 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

11 వర్గము.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+4\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు -28ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2\left(-1\right)}$$

-112కు 121ని కూడండి.

$$y=\frac{-11±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

9 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-11±3}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$y=\frac{-11±3}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{-11±3}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3కు -11ని కూడండి.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

-2తో -8ని భాగించండి.

$$y=4$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{-11±3}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

-2తో -14ని భాగించండి.

$$y=7$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=4 y=7$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(y+4\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$y^{2}+8y+16=2y^{2}-3y+44$$

రెండు భాగాల నుండి 2y^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y^{2}+8y+16-2y^{2}=-3y+44$$

-y^{2}ని పొందడం కోసం y^{2} మరియు -2y^{2}ని జత చేయండి.

$$-y^{2}+8y+16=-3y+44$$

రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$-y^{2}+8y+16+3y=44$$

11yని పొందడం కోసం 8y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-y^{2}+11y+16=44$$

రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y=44-16$$

28ని పొందడం కోసం 16ని 44 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y^{2}+11y=28$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-y^{2}+11y}{-1}=\frac{28}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\frac{11}{-1}y=\frac{28}{-1}$$

-1తో 11ని భాగించండి.

$$y^{2}-11y=\frac{28}{-1}$$

-1తో 28ని భాగించండి.

$$y^{2}-11y=-28$$

x రాశి యొక్క గుణకము -11ని 2తో భాగించి -\frac{11}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-11y+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-11y+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4}కు -28ని కూడండి.

$$y^{2}-11y+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

కారకం y^{2}-11y+\frac{121}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{2}ని కూడండి.

$$y=7 y=4$$