(3-t)^2+(4-t)^2+1+t^2=16 పరిష్కరించండి

$$( 3 - t ) ^ { 2 } + ( 4 - t ) ^ { 2 } + 1 + t ^ { 2 } = 16$$

tని పరిష్కరించండి

$$t = \frac{\sqrt{19} + 7}{3} \approx 3.786299648$$

$$t=\frac{7-\sqrt{19}}{3}\approx 0.880367019$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(3-t\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$9-6t+t^{2}+\left(4-t\right)^{2}+1+t^{2}=16$$

\left(4-t\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$9-6t+t^{2}+16-8t+t^{2}+1+t^{2}=16$$

25ని పొందడం కోసం 9 మరియు 16ని కూడండి.

$$25-6t+t^{2}-8t+t^{2}+1+t^{2}=16$$

-14tని పొందడం కోసం -6t మరియు -8tని జత చేయండి.

$$25-14t+t^{2}+t^{2}+1+t^{2}=16$$

2t^{2}ని పొందడం కోసం t^{2} మరియు t^{2}ని జత చేయండి.

$$25-14t+2t^{2}+1+t^{2}=16$$

26ని పొందడం కోసం 25 మరియు 1ని కూడండి.

$$26-14t+2t^{2}+t^{2}=16$$

3t^{2}ని పొందడం కోసం 2t^{2} మరియు t^{2}ని జత చేయండి.

$$26-14t+3t^{2}=16$$

రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$26-14t+3t^{2}-16=0$$

10ని పొందడం కోసం 16ని 26 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10-14t+3t^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$3t^{2}-14t+10=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -14 మరియు c స్థానంలో 10 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-14 వర్గము.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-120}}{2\times 3}$$

-120కు 196ని కూడండి.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

76 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-14 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 14.

$$t=\frac{14±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$t=\frac{14±2\sqrt{19}}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{14±2\sqrt{19}}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{19}కు 14ని కూడండి.

$$t=\frac{2\sqrt{19}+14}{6}$$

6తో 14+2\sqrt{19}ని భాగించండి.

$$t=\frac{\sqrt{19}+7}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{14±2\sqrt{19}}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{19}ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=\frac{14-2\sqrt{19}}{6}$$

6తో 14-2\sqrt{19}ని భాగించండి.

$$t=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=\frac{\sqrt{19}+7}{3} t=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(3-t\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$9-6t+t^{2}+\left(4-t\right)^{2}+1+t^{2}=16$$

\left(4-t\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$9-6t+t^{2}+16-8t+t^{2}+1+t^{2}=16$$

25ని పొందడం కోసం 9 మరియు 16ని కూడండి.

$$25-6t+t^{2}-8t+t^{2}+1+t^{2}=16$$

-14tని పొందడం కోసం -6t మరియు -8tని జత చేయండి.

$$25-14t+t^{2}+t^{2}+1+t^{2}=16$$

2t^{2}ని పొందడం కోసం t^{2} మరియు t^{2}ని జత చేయండి.

$$25-14t+2t^{2}+1+t^{2}=16$$

26ని పొందడం కోసం 25 మరియు 1ని కూడండి.

$$26-14t+2t^{2}+t^{2}=16$$

3t^{2}ని పొందడం కోసం 2t^{2} మరియు t^{2}ని జత చేయండి.

$$26-14t+3t^{2}=16$$

రెండు భాగాల నుండి 26ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14t+3t^{2}=16-26$$

-10ని పొందడం కోసం 26ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14t+3t^{2}=-10$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$3t^{2}-14t=-10$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3t^{2}-14t}{3}=-\frac{10}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$t^{2}-\frac{14}{3}t=-\frac{10}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{14}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}=-\frac{10}{3}+\frac{49}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{9}కు -\frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}=\frac{19}{9}$$

కారకం t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} t-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{3}ని కూడండి.

$$t=\frac{\sqrt{19}+7}{3} t=\frac{7-\sqrt{19}}{3}$$