(23-x)^2+x^2=17^2 పరిష్కరించండి

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=8$$

$$x=15$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(23-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో 17 ఉంచి గణించి, 289ని పొందండి.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

రెండు భాగాల నుండి 289ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240ని పొందడం కోసం 289ని 529 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$120-23x+x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$x^{2}-23x+120=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx+120 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 120ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

సమ్ -23ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=-8$$

\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)ని x^{2}-23x+120 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో -8 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-15ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-15=0 మరియు x-8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=15 x=8$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(23-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో 17 ఉంచి గణించి, 289ని పొందండి.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

రెండు భాగాల నుండి 289ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240ని పొందడం కోసం 289ని 529 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -46 మరియు c స్థానంలో 240 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-46 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు 240ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

-1920కు 2116ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{46±14}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14కు 46ని కూడండి.

$$x=\frac{60}{4}$$

4తో 60ని భాగించండి.

$$x=15$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{46±14}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 14ని 46 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{32}{4}$$

4తో 32ని భాగించండి.

$$x=8$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=15 x=8$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(23-x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో 17 ఉంచి గణించి, 289ని పొందండి.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

రెండు భాగాల నుండి 529ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

-240ని పొందడం కోసం 529ని 289 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}-46x=-240$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

2తో -46ని భాగించండి.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

2తో -240ని భాగించండి.

$$x^{2}-23x=-120$$

x రాశి యొక్క గుణకము -23ని 2తో భాగించి -\frac{23}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{23}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{23}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

\frac{529}{4}కు -120ని కూడండి.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

కారకం x^{2}-23x+\frac{529}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{23}{2}ని కూడండి.

$$x=15 x=8$$