(2x-3)^2-(x+5)^2=-23 పరిష్కరించండి

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(2x-3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2}ని పొందడం కోసం 4x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22xని పొందడం కోసం -12x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16ని పొందడం కోసం 25ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

రెండు వైపులా 23ని జోడించండి.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7ని పొందడం కోసం -16 మరియు 23ని కూడండి.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx+7 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 21ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-21 -3,-7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

సమ్ -22ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-21 b=-1$$

\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)ని 3x^{2}-22x+7 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు 3x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(2x-3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2}ని పొందడం కోసం 4x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22xని పొందడం కోసం -12x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16ని పొందడం కోసం 25ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

రెండు వైపులా 23ని జోడించండి.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

7ని పొందడం కోసం -16 మరియు 23ని కూడండి.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3, b స్థానంలో -22 మరియు c స్థానంలో 7 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-22 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 సార్లు 7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

-84కు 484ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{22±20}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 20కు 22ని కూడండి.

$$x=\frac{42}{6}$$

6తో 42ని భాగించండి.

$$x=7$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{22±20}{6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 20ని 22 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{2}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(2x-3\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

x^{2}+10x+25 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

3x^{2}ని పొందడం కోసం 4x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

-22xని పొందడం కోసం -12x మరియు -10xని జత చేయండి.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

-16ని పొందడం కోసం 25ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

రెండు వైపులా 16ని జోడించండి.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

-7ని పొందడం కోసం -23 మరియు 16ని కూడండి.

$$3x^{2}-22x=-7$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

3తో భాగించడం ద్వారా 3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{22}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{9}కు -\frac{7}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

కారకం x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{3}ని కూడండి.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$