(-12-k)^2-4(4)(4)=0 పరిష్కరించండి

$$( - 12 - k ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( 4 ) = 0$$

kని పరిష్కరించండి

$$k=-20$$

$$k=-4$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(-12-k\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16ని పొందడం కోసం 4 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64ని పొందడం కోసం 16 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80ని పొందడం కోసం 64ని 144 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80+24k+k^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$k^{2}+24k+80=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి k^{2}+24k+80ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=24 ab=80$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 80ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

సమ్ 24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=4 b=20$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(k+a\right)\left(k+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, k+4=0 మరియు k+20=0ని పరిష్కరించండి.

$$k=-4 k=-20$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(-12-k\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16ని పొందడం కోసం 4 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64ని పొందడం కోసం 16 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80ని పొందడం కోసం 64ని 144 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80+24k+k^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$k^{2}+24k+80=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును k^{2}+ak+bk+80 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=24 ab=1\times 80=80$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 80ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

సమ్ 24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=4 b=20$$

\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)ని k^{2}+24k+80 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)$$

మొదటి సమూహంలో k మరియు రెండవ సమూహంలో 20 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$k\left(k+4\right)+20\left(k+4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ k+4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, k+4=0 మరియు k+20=0ని పరిష్కరించండి.

$$k=-4 k=-20$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(-12-k\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16ని పొందడం కోసం 4 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64ని పొందడం కోసం 16 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80ని పొందడం కోసం 64ని 144 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80+24k+k^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$k^{2}+24k+80=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 24 మరియు c స్థానంలో 80 ప్రతిక్షేపించండి.

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 80}}{2}$$

24 వర్గము.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 80}}{2}$$

-4 సార్లు 80ని గుణించండి.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-320}}{2}$$

-320కు 576ని కూడండి.

$$k=\frac{-24±\sqrt{256}}{2}$$

256 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$k=\frac{-24±16}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి k=\frac{-24±16}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16కు -24ని కూడండి.

$$k=-\frac{8}{2}$$

2తో -8ని భాగించండి.

$$k=-4$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి k=\frac{-24±16}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 16ని -24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-\frac{40}{2}$$

2తో -40ని భాగించండి.

$$k=-20$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$k=-4 k=-20$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(-12-k\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16ని పొందడం కోసం 4 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64ని పొందడం కోసం 16 మరియు 4ని గుణించండి.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80ని పొందడం కోసం 64ని 144 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$80+24k+k^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 80ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$24k+k^{2}=-80$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$k^{2}+24k=-80$$

x రాశి యొక్క గుణకము 24ని 2తో భాగించి 12ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 12 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$k^{2}+24k+12^{2}=-80+12^{2}$$

12 వర్గము.

$$k^{2}+24k+144=-80+144$$

144కు -80ని కూడండి.

$$k^{2}+24k+144=64$$

కారకం k^{2}+24k+144. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(k+12\right)^{2}=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(k+12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$k+12=8 k+12=-8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$k=-4 k=-20$$