y^2-15y=-54 పరిష్కరించండి

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

yని పరిష్కరించండి

$$y=6$$

$$y=9$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 54ని జోడించండి.

$$y^{2}-15y+54=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి y^{2}-15y+54ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 54ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

సమ్ -15ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=-6$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(y+a\right)\left(y+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-9=0 మరియు y-6=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=9 y=6$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు వైపులా 54ని జోడించండి.

$$y^{2}-15y+54=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును y^{2}+ay+by+54 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 54ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

సమ్ -15ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=-6$$

\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)ని y^{2}-15y+54 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

మొదటి సమూహంలో y మరియు రెండవ సమూహంలో -6 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-9ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, y-9=0 మరియు y-6=0ని పరిష్కరించండి.

$$y=9 y=6$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$y^{2}-15y=-54$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 54ని కూడండి.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

-54ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

-54ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y^{2}-15y+54=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -15 మరియు c స్థానంలో 54 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 సార్లు 54ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

-216కు 225ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{15±3}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3కు 15ని కూడండి.

$$y=\frac{18}{2}$$

2తో 18ని భాగించండి.

$$y=9$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{15±3}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 3ని 15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{12}{2}$$

2తో 12ని భాగించండి.

$$y=6$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=9 y=6$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$y^{2}-15y=-54$$

x రాశి యొక్క గుణకము -15ని 2తో భాగించి -\frac{15}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{15}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{15}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4}కు -54ని కూడండి.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

కారకం y^{2}-15y+\frac{225}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{2}ని కూడండి.

$$y=9 y=6$$