x^6=((6x^3)-5^3) పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

3 యొక్క ఘాతంలో 5 ఉంచి గణించి, 125ని పొందండి.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

రెండు భాగాల నుండి 6x^{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

రెండు వైపులా 125ని జోడించండి.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

x^{3}ను t స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి.

$$t^{2}-6t+125=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, -6 స్థానంలో b 125 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}ని పరిష్కరించండి.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

x=t^{3} కనుక, ప్రతి t కోసం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా పరిష్కారాలను కనుగొనవచ్చు.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$