x^4-18x^2+81 పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

లబ్ధమూలము

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

పరిష్కారం దశలు

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 81ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=3$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{4}-18x^{2}+81ని x-3తో భాగించి x^{3}+3x^{2}-9x-27ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -27ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±27,±9,±3,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=3$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{3}+3x^{2}-9x-27ని x-3తో భాగించి x^{2}+6x+9ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{2}+6x+9=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 6 స్థానంలో b 9 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

పరిష్కారాలు ఒకటే.

$$x=-3$$

పొందిన రూట్‌లను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$