x^2-6x+11=0 పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}-6x+11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -6 మరియు c స్థానంలో 11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-6 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

-4 సార్లు 11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

-44కు 36ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

-8 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2i\sqrt{2}కు 6ని కూడండి.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

2తో 6+2i\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2i\sqrt{2}ని 6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

2తో 6-2i\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}-6x+11=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}-6x=-11$$

x రాశి యొక్క గుణకము -6ని 2తో భాగించి -3ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -3 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

-3 వర్గము.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

9కు -11ని కూడండి.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

కారకం x^{2}-6x+9. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$