x^2-21x+104=0 పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=8$$

$$x=13$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}-21x+104ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-21 ab=104$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 104ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

సమ్ -21ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-13 b=-8$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-13=0 మరియు x-8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=13 x=8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx+104 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 104ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

సమ్ -21ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-13 b=-8$$

\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)ని x^{2}-21x+104 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో -8 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-13ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-13=0 మరియు x-8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=13 x=8$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}-21x+104=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -21 మరియు c స్థానంలో 104 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

-21 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

-4 సార్లు 104ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

-416కు 441ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

25 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

-21 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{21±5}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5కు 21ని కూడండి.

$$x=\frac{26}{2}$$

2తో 26ని భాగించండి.

$$x=13$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{21±5}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5ని 21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{16}{2}$$

2తో 16ని భాగించండి.

$$x=8$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=13 x=8$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}-21x+104=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 104ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

104ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}-21x=-104$$

x రాశి యొక్క గుణకము -21ని 2తో భాగించి -\frac{21}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{21}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{21}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

\frac{441}{4}కు -104ని కూడండి.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

x^{2}-21x+\frac{441}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{21}{2}ని కూడండి.

$$x=13 x=8$$