x^2-10x-11=0 పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 2 } -10x-11=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$x=11$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}-10x-11ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-10 ab=-11$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=-11 b=1$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-11=0 మరియు x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=11 x=-1$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-11 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-10 ab=1\left(-11\right)=-11$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. అటువంటి పెయిర్ మాత్రమే సిస్టమ్ పరిష్కారమం.

$$a=-11 b=1$$

\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)ని x^{2}-10x-11 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)$$

x^{2}-11xలో xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$x\left(x-11\right)+x-11$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-11ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-11=0 మరియు x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=11 x=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}-10x-11=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -10 మరియు c స్థానంలో -11 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

-10 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-11\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+44}}{2}$$

44కు 100ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{144}}{2}$$

144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±12}{2}$$

-10 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 10.

$$x=\frac{10±12}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{10±12}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12కు 10ని కూడండి.

$$x=\frac{22}{2}$$

2తో 22ని భాగించండి.

$$x=11$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{10±12}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{2}{2}$$

2తో -2ని భాగించండి.

$$x=-1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=11 x=-1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}-10x-11=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 11ని కూడండి.

$$x^{2}-10x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}-10x=-\left(-11\right)$$

-11ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-10x=11$$

x రాశి యొక్క గుణకము -10ని 2తో భాగించి -5ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -5 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=11+\left(-5\right)^{2}$$

-5 వర్గము.

$$x^{2}-10x+25=11+25$$

25కు 11ని కూడండి.

$$x^{2}-10x+25=36$$

కారకం x^{2}-10x+25. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-5\right)^{2}=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-5=6 x-5=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$x=11 x=-1$$