x^2+14x-2352=0 పరిష్కరించండి

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-56$$

$$x=42$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}+14x-2352ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=14 ab=-2352$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -2352ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

సమ్ 14ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-42 b=56$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-42=0 మరియు x+56=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=42 x=-56$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-2352 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -2352ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

సమ్ 14ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-42 b=56$$

\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)ని x^{2}+14x-2352 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 56 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-42ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-42=0 మరియు x+56=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=42 x=-56$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 14 మరియు c స్థానంలో -2352 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

14 వర్గము.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -2352ని గుణించండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

9408కు 196ని కూడండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

9604 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-14±98}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 98కు -14ని కూడండి.

$$x=\frac{84}{2}$$

2తో 84ని భాగించండి.

$$x=42$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-14±98}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 98ని -14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{112}{2}$$

2తో -112ని భాగించండి.

$$x=-56$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=42 x=-56$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2352ని కూడండి.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

-2352ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

-2352ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+14x=2352$$

x రాశి యొక్క గుణకము 14ని 2తో భాగించి 7ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 7 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

7 వర్గము.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

49కు 2352ని కూడండి.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

కారకం x^{2}+14x+49. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+7=49 x+7=-49$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=42 x=-56$$