sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 పరిష్కరించండి

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

xని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

పరిష్కారం దశలు

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -\sqrt{15+x^{2}}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాలను వర్గము చేయండి.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో \sqrt{25-x^{2}} ఉంచి గణించి, 25-x^{2}ని పొందండి.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో \sqrt{15+x^{2}} ఉంచి గణించి, 15+x^{2}ని పొందండి.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

31ని పొందడం కోసం 16 మరియు 15ని కూడండి.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 31+x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-6ని పొందడం కోసం 31ని 25 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-2x^{2}ని పొందడం కోసం -x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాలను వర్గము చేయండి.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాతముని మరొక ఘాతముతో హెచ్చించడం కోసం ఘాతాంకాలను గుణించండి. 2 మరియు 2ని గుణించి 4 పొందండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}ని విస్తరించండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో 8 ఉంచి గణించి, 64ని పొందండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 యొక్క ఘాతంలో \sqrt{15+x^{2}} ఉంచి గణించి, 15+x^{2}ని పొందండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

15+x^{2}తో 64ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 960ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

-924ని పొందడం కోసం 960ని 36 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 64x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

-40x^{2}ని పొందడం కోసం 24x^{2} మరియు -64x^{2}ని జత చేయండి.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2}ను t స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 4 స్థానంలో a, -40 స్థానంలో b -924 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం t=\frac{40±128}{8}ని పరిష్కరించండి.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} కనుక, ప్రతి t కోసం x=±\sqrt{t}ని మూల్యాంకనం చేయడం ద్వారా పరిష్కారాలు పొందవచ్చు.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

మరొక సమీకరణములో xను -\sqrt{21} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=-\sqrt{21} సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు, ఎందుకంటే ఎడమ మరియు కుడివైపు వ్యతిరేక సంకేతాలు ఉన్నాయి.

$$-4=4$$

మరొక సమీకరణములో xను \sqrt{21} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=\sqrt{21} సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచదు, ఎందుకంటే ఎడమ మరియు కుడివైపు వ్యతిరేక సంకేతాలు ఉన్నాయి.

$$-4=4$$

మరొక సమీకరణములో xను -\sqrt{11}i స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=-\sqrt{11}i సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

$$4=4$$

మరొక సమీకరణములో xను \sqrt{11}i స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

సరళీకృతం చేయండి. విలువ x=\sqrt{11}i సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$