{l}{x-y+1=0}{-lambdax+y+2lambda+1=0} పరిష్కరించండి

$$\left.\begin{array} { l } { x - y + 1 = 0 } \\ { - \lambda x + y + 2 \lambda + 1 = 0 } \end{array} \right\}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{2\left(\lambda +1\right)}{\lambda -1}$$

$$y=\frac{3\lambda +1}{\lambda -1}$$

$$\lambda \neq 1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-y+1=0,\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-y+1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-y=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$x=y-1$$

మరొక సమీకరణములో xను y-1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0.

$$\left(-\lambda \right)\left(y-1\right)+y+2\lambda +1=0$$

-\lambda సార్లు y-1ని గుణించండి.

$$\left(-\lambda \right)y+\lambda +y+2\lambda +1=0$$

yకు -\lambda yని కూడండి.

$$\left(1-\lambda \right)y+\lambda +2\lambda +1=0$$

2\lambda +1కు \lambda ని కూడండి.

$$\left(1-\lambda \right)y+3\lambda +1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3\lambda +1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(1-\lambda \right)y=-3\lambda -1$$

రెండు వైపులా -\lambda +1తో భాగించండి.

$$y=-\frac{3\lambda +1}{1-\lambda }$$

x=y-1లో yను -\frac{3\lambda +1}{-\lambda +1} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3\lambda +1}{1-\lambda }-1$$

-\frac{3\lambda +1}{-\lambda +1}కు -1ని కూడండి.

$$x=-\frac{2\left(\lambda +1\right)}{1-\lambda }$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{2\left(\lambda +1\right)}{1-\lambda },y=-\frac{3\lambda +1}{1-\lambda }$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-y+1=0,\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-\lambda &1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-\lambda \right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-\lambda \right)\right)}\\-\frac{-\lambda }{1-\left(-\left(-\lambda \right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-\lambda \right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\lambda }&\frac{1}{1-\lambda }\\\frac{\lambda }{1-\lambda }&\frac{1}{1-\lambda }\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\lambda -1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\lambda }\left(-1\right)+\frac{1}{1-\lambda }\left(-2\lambda -1\right)\\\frac{\lambda }{1-\lambda }\left(-1\right)+\frac{1}{1-\lambda }\left(-2\lambda -1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2\left(\lambda +1\right)}{1-\lambda }\\-\frac{3\lambda +1}{1-\lambda }\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{2\left(\lambda +1\right)}{1-\lambda },y=-\frac{3\lambda +1}{1-\lambda }$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-y+1=0,\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0$$

x మరియు -\lambda xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -\lambda తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$\left(-\lambda \right)x+\left(-\lambda \right)\left(-1\right)y-\lambda =0,\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\left(-\lambda \right)x+\lambda y-\lambda =0,\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0ని \left(-\lambda \right)x+\lambda y-\lambda =0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\lambda \right)x+\lambda x+\lambda y-y-\lambda -2\lambda -1=0$$

\lambda xకు -\lambda xని కూడండి. -\lambda x మరియు \lambda x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\lambda y-y-\lambda -2\lambda -1=0$$

-yకు \lambda yని కూడండి.

$$\left(\lambda -1\right)y-\lambda -2\lambda -1=0$$

-2\lambda -1కు -\lambda ని కూడండి.

$$\left(\lambda -1\right)y-3\lambda -1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -3\lambda -1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(\lambda -1\right)y=3\lambda +1$$

రెండు వైపులా \lambda -1తో భాగించండి.

$$y=\frac{3\lambda +1}{\lambda -1}$$

\left(-\lambda \right)x+y+2\lambda +1=0లో yను \frac{3\lambda +1}{\lambda -1} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\left(-\lambda \right)x+\frac{3\lambda +1}{\lambda -1}+2\lambda +1=0$$

2\lambda +1కు \frac{3\lambda +1}{\lambda -1}ని కూడండి.

$$\left(-\lambda \right)x+\frac{2\lambda \left(\lambda +1\right)}{\lambda -1}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2\lambda \left(1+\lambda \right)}{\lambda -1}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-\lambda \right)x=-\frac{2\lambda \left(\lambda +1\right)}{\lambda -1}$$

రెండు వైపులా -\lambda తో భాగించండి.

$$x=\frac{2\left(\lambda +1\right)}{\lambda -1}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{2\left(\lambda +1\right)}{\lambda -1},y=\frac{3\lambda +1}{\lambda -1}$$