{l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x} పరిష్కరించండి

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x+8y-x=-y$$

3xని పొందడం కోసం 4x మరియు -xని జత చేయండి.

$$3x+8y=-y$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x+8y+y=0$$

9yని పొందడం కోసం 8y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x+9y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-2y=-4-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2xని పొందడం కోసం -3x మరియు xని జత చేయండి.

$$-2x-2y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+9y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-9y$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

\frac{1}{3} సార్లు -9yని గుణించండి.

$$x=-3y$$

మరొక సమీకరణములో xను -3y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

-2 సార్లు -3yని గుణించండి.

$$6y-2y=-4$$

-2yకు 6yని కూడండి.

$$4y=-4$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=-1$$

x=-3yలో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3\left(-1\right)$$

-3 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x+8y-x=-y$$

3xని పొందడం కోసం 4x మరియు -xని జత చేయండి.

$$3x+8y=-y$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x+8y+y=0$$

9yని పొందడం కోసం 8y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x+9y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-2y=-4-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2xని పొందడం కోసం -3x మరియు xని జత చేయండి.

$$-2x-2y=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+2yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x+8y-x=-y$$

3xని పొందడం కోసం 4x మరియు -xని జత చేయండి.

$$3x+8y=-y$$

రెండు వైపులా yని జోడించండి.

$$3x+8y+y=0$$

9yని పొందడం కోసం 8y మరియు yని జత చేయండి.

$$3x+9y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-2y=-4-x$$

రెండు వైపులా xని జోడించండి.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2xని పొందడం కోసం -3x మరియు xని జత చేయండి.

$$-2x-2y=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

3x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x-6y=-12ని -6x-18y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

6xకు -6xని కూడండి. -6x మరియు 6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-18y+6y=12$$

6yకు -18yని కూడండి.

$$-12y=12$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$y=-1$$

-2x-2y=-4లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

-2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$-2x+2=-4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-6$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=-1$$