{c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y} పరిష్కరించండి

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=-8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$27+4y=-4x+3$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$27+4y+4x=3$$

రెండు భాగాల నుండి 27ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=3-27$$

-24ని పొందడం కోసం 27ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=-24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$8x+3y=-8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$4y+4x=-24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y=-4x-24$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -4x-24ని గుణించండి.

$$y=-x-6$$

మరొక సమీకరణములో yను -x-6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

3 సార్లు -x-6ని గుణించండి.

$$-3x-18+8x=-8$$

8xకు -3xని కూడండి.

$$5x-18=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 18ని కూడండి.

$$5x=10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=2$$

y=-x-6లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-2-6$$

-2కు -6ని కూడండి.

$$y=-8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-8,x=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$27+4y=-4x+3$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$27+4y+4x=3$$

రెండు భాగాల నుండి 27ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=3-27$$

-24ని పొందడం కోసం 27ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=-24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$8x+3y=-8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-8,x=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$27+4y=-4x+3$$

రెండు వైపులా 4xని జోడించండి.

$$27+4y+4x=3$$

రెండు భాగాల నుండి 27ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=3-27$$

-24ని పొందడం కోసం 27ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y+4x=-24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3yని జోడించండి.

$$8x+3y=-8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y మరియు 3yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12y+32x=-32ని 12y+12x=-72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

-12yకు 12yని కూడండి. 12y మరియు -12y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12x-32x=-72+32$$

-32xకు 12xని కూడండి.

$$-20x=-72+32$$

32కు -72ని కూడండి.

$$-20x=-40$$

రెండు వైపులా -20తో భాగించండి.

$$x=2$$

3y+8x=-8లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3y+8\times 2=-8$$

8 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$3y+16=-8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3y=-24$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=-8$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-8,x=2$$