{l}{x+5y=22}{y=3x-7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 5 y = 22 }\\{ y = 3 x - 7 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16} = 3.5625$$

$$y = \frac{59}{16} = 3\frac{11}{16} = 3.6875$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+5y=22,-3x+y=-7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+5y=22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-5y+22$$

మరొక సమీకరణములో xను -5y+22 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+y=-7.

$$-3\left(-5y+22\right)+y=-7$$

-3 సార్లు -5y+22ని గుణించండి.

$$15y-66+y=-7$$

yకు 15yని కూడండి.

$$16y-66=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 66ని కూడండి.

$$16y=59$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$y=\frac{59}{16}$$

x=-5y+22లో yను \frac{59}{16} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-5\times \frac{59}{16}+22$$

-5 సార్లు \frac{59}{16}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{295}{16}+22$$

-\frac{295}{16}కు 22ని కూడండి.

$$x=\frac{57}{16}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{57}{16},y=\frac{59}{16}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-7$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+5y=22,-3x+y=-7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{1-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-5\left(-3\right)}&\frac{1}{1-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&-\frac{5}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 22-\frac{5}{16}\left(-7\right)\\\frac{3}{16}\times 22+\frac{1}{16}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{16}\\\frac{59}{16}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{57}{16},y=\frac{59}{16}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-7$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+5y=22,-3x+y=-7$$

x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-3x-3\times 5y=-3\times 22,-3x+y=-7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3x-15y=-66,-3x+y=-7$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3x+y=-7ని -3x-15y=-66 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+3x-15y-y=-66+7$$

3xకు -3xని కూడండి. -3x మరియు 3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-15y-y=-66+7$$

-yకు -15yని కూడండి.

$$-16y=-66+7$$

7కు -66ని కూడండి.

$$-16y=-59$$

రెండు వైపులా -16తో భాగించండి.

$$y=\frac{59}{16}$$

-3x+y=-7లో yను \frac{59}{16} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+\frac{59}{16}=-7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{59}{16}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-\frac{171}{16}$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=\frac{57}{16}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{57}{16},y=\frac{59}{16}$$