{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+2y=3+3y+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$x+2y=4+3y$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+2y-3y=4$$

-yని పొందడం కోసం 2y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8-y=2-2y+3x$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$8-y+2y=2+3x$$

yని పొందడం కోసం -y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$8+y=2+3x$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8+y-3x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=2-8$$

-6ని పొందడం కోసం 8ని 2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-y=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$x=y+4$$

మరొక సమీకరణములో xను y+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3 సార్లు y+4ని గుణించండి.

$$-3y-12+y=-6$$

yకు -3yని కూడండి.

$$-2y-12=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$-2y=6$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-3$$

x=y+4లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3+4$$

-3కు 4ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+2y=3+3y+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$x+2y=4+3y$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+2y-3y=4$$

-yని పొందడం కోసం 2y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8-y=2-2y+3x$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$8-y+2y=2+3x$$

yని పొందడం కోసం -y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$8+y=2+3x$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8+y-3x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=2-8$$

-6ని పొందడం కోసం 8ని 2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-6$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1+yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+2y=3+3y+1$$

4ని పొందడం కోసం 3 మరియు 1ని కూడండి.

$$x+2y=4+3y$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+2y-3y=4$$

-yని పొందడం కోసం 2y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-y=4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 1-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8-y=2-2y+3x$$

రెండు వైపులా 2yని జోడించండి.

$$8-y+2y=2+3x$$

yని పొందడం కోసం -y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$8+y=2+3x$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8+y-3x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=2-8$$

-6ని పొందడం కోసం 8ని 2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-6$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3x+y=-6ని -3x+3y=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3xకు -3xని కూడండి. -3x మరియు 3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-y=-12+6$$

-yకు 3yని కూడండి.

$$2y=-12+6$$

6కు -12ని కూడండి.

$$2y=-6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-3$$

-3x+y=-6లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x-3=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$-3x=-3$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$