{l}{70x+190y=2035}{x+y=14.5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 70 x + 190 y = 2035 }\\{ x + y = 14.5 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=8.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$70x+190y=2035$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 190yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$70x=-190y+2035$$

రెండు వైపులా 70తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{70}\left(-190y+2035\right)$$

\frac{1}{70} సార్లు -190y+2035ని గుణించండి.

$$x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{19y}{7}+\frac{407}{14} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=14.5.

$$-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}+y=14.5$$

yకు -\frac{19y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{407}{14}=14.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{407}{14}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{12}{7}y=-\frac{102}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{12}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{17}{2}$$

x=-\frac{19}{7}y+\frac{407}{14}లో yను \frac{17}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{19}{7}\times \frac{17}{2}+\frac{407}{14}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{19}{7} సార్లు \frac{17}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{-323+407}{14}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{323}{14}కు \frac{407}{14}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}70&190\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{70-190}&-\frac{190}{70-190}\\-\frac{1}{70-190}&\frac{70}{70-190}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}&\frac{19}{12}\\\frac{1}{120}&-\frac{7}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2035\\14.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{120}\times 2035+\frac{19}{12}\times 14.5\\\frac{1}{120}\times 2035-\frac{7}{12}\times 14.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$70x+190y=2035,x+y=14.5$$

70x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 70తో గుణించండి.

$$70x+190y=2035,70x+70y=70\times 14.5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$70x+190y=2035,70x+70y=1015$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 70x+70y=1015ని 70x+190y=2035 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$70x-70x+190y-70y=2035-1015$$

-70xకు 70xని కూడండి. 70x మరియు -70x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$190y-70y=2035-1015$$

-70yకు 190yని కూడండి.

$$120y=2035-1015$$

-1015కు 2035ని కూడండి.

$$120y=1020$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$y=\frac{17}{2}$$

x+y=14.5లో yను \frac{17}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{17}{2}=14.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{17}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=\frac{17}{2}$$