{l}{6x-7y=8}{x-7y=-22} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 6 x - 7 y = 8 }\\{ x - 7 y = - 22 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x-7y=8,x-7y=-22$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x-7y=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7yని కూడండి.

$$6x=7y+8$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+8\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు 7y+8ని గుణించండి.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7y}{6}+\frac{4}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-7y=-22.

$$\frac{7}{6}y+\frac{4}{3}-7y=-22$$

-7yకు \frac{7y}{6}ని కూడండి.

$$-\frac{35}{6}y+\frac{4}{3}=-22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{35}{6}y=-\frac{70}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{35}{6}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=4$$

x=\frac{7}{6}y+\frac{4}{3}లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{7}{6}\times 4+\frac{4}{3}$$

\frac{7}{6} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{14+4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{14}{3}కు \frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x-7y=8,x-7y=-22$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{6\left(-7\right)-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{6\left(-7\right)-\left(-7\right)}&\frac{6}{6\left(-7\right)-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-22\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\left(-22\right)\\\frac{1}{35}\times 8-\frac{6}{35}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x-7y=8,x-7y=-22$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x-7y=-22ని 6x-7y=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-x-7y+7y=8+22$$

7yకు -7yని కూడండి. -7y మరియు 7y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6x-x=8+22$$

-xకు 6xని కూడండి.

$$5x=8+22$$

22కు 8ని కూడండి.

$$5x=30$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=6$$

x-7y=-22లో xను 6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6-7y=-22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7y=-28$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=4$$