{l}{2x_{1}+3x_{2}=5}{x_{1}+4x_{2}=10} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 5 }\\{ x _ { 1 } + 4 x _ { 2 } = 10 }\end{array} \right.$$

x_1, x_2ని పరిష్కరించండి

$$x_{1}=-2$$

$$x_{2}=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=5,x_{1}+4x_{2}=10$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న x_{1}ని వేరు చేయడం ద్వారా x_{1}ని పరిష్కరించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3x_{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x_{1}=-3x_{2}+5$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+5\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -3x_{2}+5ని గుణించండి.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో x_{1}ను \frac{-3x_{2}+5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x_{1}+4x_{2}=10.

$$-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{5}{2}+4x_{2}=10$$

4x_{2}కు -\frac{3x_{2}}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}x_{2}+\frac{5}{2}=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{5}{2}x_{2}=\frac{15}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x_{2}=3$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{5}{2}లో x_{2}ను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{2} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x_{1}=\frac{-9+5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{9}{2}కు \frac{5}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x_{1}=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=-2,x_{2}=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=5,x_{1}+4x_{2}=10$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{3}{2\times 4-3}\\-\frac{1}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

x_{1} మరియు x_{2} మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x_{1}=-2,x_{2}=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x_{1}+3x_{2}=5,x_{1}+4x_{2}=10$$

2x_{1} మరియు x_{1}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=5,2x_{1}+2\times 4x_{2}=2\times 10$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x_{1}+3x_{2}=5,2x_{1}+8x_{2}=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x_{1}+8x_{2}=20ని 2x_{1}+3x_{2}=5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x_{1}-2x_{1}+3x_{2}-8x_{2}=5-20$$

-2x_{1}కు 2x_{1}ని కూడండి. 2x_{1} మరియు -2x_{1} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x_{2}-8x_{2}=5-20$$

-8x_{2}కు 3x_{2}ని కూడండి.

$$-5x_{2}=5-20$$

-20కు 5ని కూడండి.

$$-5x_{2}=-15$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x_{2}=3$$

x_{1}+4x_{2}=10లో x_{2}ను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}+4\times 3=10$$

4 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x_{1}+12=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=-2,x_{2}=3$$