{l}{2x+y=17}{y=6x+1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + y = 17 }\\{ y = 6 x + 1 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=13$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+y=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-y+17$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -y+17ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+17}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -6x+y=1.

$$-6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=1$$

-6 సార్లు \frac{-y+17}{2}ని గుణించండి.

$$3y-51+y=1$$

yకు 3yని కూడండి.

$$4y-51=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 51ని కూడండి.

$$4y=52$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}లో yను 13 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times 13+\frac{17}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు 13ని గుణించండి.

$$x=\frac{-13+17}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{2}కు \frac{17}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=13$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=1$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-6\right)}&-\frac{1}{2-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-\left(-6\right)}&\frac{2}{2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 17-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=13$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-6x=1$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x+y=1ని 2x+y=17 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+6x+y-y=17-1$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2x+6x=17-1$$

6xకు 2xని కూడండి.

$$8x=17-1$$

-1కు 17ని కూడండి.

$$8x=16$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=2$$

-6x+y=1లో xను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-6\times 2+y=1$$

-6 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$-12+y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$y=13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=13$$