{l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$12x-4y=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$12x=4y-4$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

\frac{1}{12} సార్లు -4+4yని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-1+y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+8y=17.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

3 సార్లు \frac{-1+y}{3}ని గుణించండి.

$$y-1+8y=17$$

8yకు yని కూడండి.

$$9y-1=17$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$9y=18$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{2}{3}కు -\frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

12x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 12తో గుణించండి.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 36x+96y=204ని 36x-12y=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

-36xకు 36xని కూడండి. 36x మరియు -36x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y-96y=-12-204$$

-96yకు -12yని కూడండి.

$$-108y=-12-204$$

-204కు -12ని కూడండి.

$$-108y=-216$$

రెండు వైపులా -108తో భాగించండి.

$$y=2$$

3x+8y=17లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+8\times 2=17$$

8 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$3x+16=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=1$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$