{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=5$$

$$y=17$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=y+1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-y=1$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=1-3$$

-2ని పొందడం కోసం 3ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-4=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4-y=-1$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4x-y=-1+4$$

3ని పొందడం కోసం -1 మరియు 4ని కూడండి.

$$4x-y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y-2$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y-2ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2+y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

4 సార్లు \frac{-2+y}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

-yకు \frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{8}{3}ని కూడండి.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}లో yను 17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} సార్లు 17ని గుణించండి.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{17}{3}కు -\frac{2}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=17$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=y+1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-y=1$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=1-3$$

-2ని పొందడం కోసం 3ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-4=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4-y=-1$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4x-y=-1+4$$

3ని పొందడం కోసం -1 మరియు 4ని కూడండి.

$$4x-y=3$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=5,y=17$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=y+1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-y=1$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=1-3$$

-2ని పొందడం కోసం 3ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=-2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-4=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4-y=-1$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$4x-y=-1+4$$

3ని పొందడం కోసం -1 మరియు 4ని కూడండి.

$$4x-y=3$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x-y=3ని 3x-y=-2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x-4x=-2-3$$

-4xకు 3xని కూడండి.

$$-x=-2-3$$

-3కు -2ని కూడండి.

$$-x=-5$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=5$$

4x-y=3లో xను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4\times 5-y=3$$

4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$20-y=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-17$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=17$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=17$$