{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x+y=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x=-y+21$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు -y+21ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+21}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24 సార్లు \frac{-y+21}{8}ని గుణించండి.

$$-3y+63-5y=23$$

-5yకు -3yని కూడండి.

$$-8y+63=23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 63ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8y=-40$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{8}కు \frac{21}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=2,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x మరియు 24xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 24తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 192x-40y=184ని 192x+24y=504 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

-192xకు 192xని కూడండి. 192x మరియు -192x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$24y+40y=504-184$$

40yకు 24yని కూడండి.

$$64y=504-184$$

-184కు 504ని కూడండి.

$$64y=320$$

రెండు వైపులా 64తో భాగించండి.

$$y=5$$

24x-5y=23లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$24x-5\times 5=23$$

-5 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$24x-25=23$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 25ని కూడండి.

$$24x=48$$

రెండు వైపులా 24తో భాగించండి.

$$x=2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=2,y=5$$