{r}{6x+8y=k}{x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+8y=k$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-8y+k$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -8y+kని గుణించండి.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

yకు -\frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{k}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}లో yను -3+\frac{k}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

-\frac{4}{3} సార్లు -3+\frac{k}{2}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

4-\frac{2k}{3}కు \frac{k}{6}ని కూడండి.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

6x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+6y=6ని 6x+8y=k నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y-6y=k-6$$

-6yకు 8yని కూడండి.

$$2y=k-6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

x+y=1లో yను \frac{k}{2}-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -3+\frac{k}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$